Полугруппа

Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией [math]\displaystyle{ ( S , \cdot) }[/math]. Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу [math]\displaystyle{ S }[/math], не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент [math]\displaystyle{ e \not\in S }[/math] и определив [math]\displaystyle{ es = s = se\ \forall s \in S \cup \{e\}; }[/math] полученный моноид обычно обозначается как [math]\displaystyle{ S^1 }[/math].

Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

Определение

Полугруппой является (непустое) множество [math]\displaystyle{ \mathfrak{U} }[/math], в котором для любой пары взятых в определённом порядке элементов [math]\displaystyle{ X, Y \in \mathfrak{U} }[/math] определён новый элемент, называемый их произведением [math]\displaystyle{ U = X Y \in \mathfrak{U} }[/math], причём для любых [math]\displaystyle{ X, Y, Z \in \mathfrak{U} }[/math] всегда выполнено [math]\displaystyle{ (XY)Z=X(YZ) }[/math].

Виды полугрупп

Полугруппа [math]\displaystyle{ \mathfrak{U} }[/math] называется коммутативной (или абелевой), если для любых [math]\displaystyle{ A, B \in \mathfrak{U} }[/math] всегда выполнено [math]\displaystyle{ AB=BA }[/math].

Важные классы образуют полугруппы с сокращением:

• с левым сокращением, если при любых [math]\displaystyle{ X, A, B \in \mathfrak{U} }[/math] из [math]\displaystyle{ XA=XB }[/math] всегда следует [math]\displaystyle{ A=B }[/math];
• с правым сокращением, если при любых [math]\displaystyle{ Y, A, B \in \mathfrak{U} }[/math] из [math]\displaystyle{ AY=BY }[/math] всегда следует [math]\displaystyle{ A=B }[/math];
• с двусторонним сокращением, если является полугруппой и с левым, и с правым сокращением одновременно.

Элемент [math]\displaystyle{ A }[/math] полугруппы [math]\displaystyle{ \mathfrak{U} }[/math] называется регулярным, если в [math]\displaystyle{ \mathfrak{U} }[/math] найдется такой элемент [math]\displaystyle{ X }[/math], что [math]\displaystyle{ AXA=A }[/math]. Полугруппа, все элементы которой регулярны, называется регулярной полугруппой.

Элемент [math]\displaystyle{ A }[/math] полугруппы [math]\displaystyle{ \mathfrak{U} }[/math] называется вполне регулярным, если в [math]\displaystyle{ \mathfrak{U} }[/math] найдется такой элемент [math]\displaystyle{ X }[/math], что [math]\displaystyle{ AXA=A }[/math] и [math]\displaystyle{ AX=XA }[/math]. Вполне регулярная полугруппа — полугруппа, все элементы которой вполне регулярны.

Полугруппа [math]\displaystyle{ \mathfrak{U} }[/math], в которой для любых [math]\displaystyle{ A, B \in \mathfrak{U} }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathfrak{U} }[/math] всегда найдутся такие [math]\displaystyle{ X, Y }[/math], что [math]\displaystyle{ XA=B }[/math] и [math]\displaystyle{ AY = B }[/math], является группой.

Структура полугруппы

Если [math]\displaystyle{ A,B \subset S }[/math], то принято обозначать [math]\displaystyle{ AB=\{ab \mid a \in A, b \in B\} }[/math].

Подмножество [math]\displaystyle{ A }[/math] полугруппы [math]\displaystyle{ S }[/math] называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из [math]\displaystyle{ A }[/math] их произведение также принадлежало [math]\displaystyle{ A }[/math].

Если подмножество [math]\displaystyle{ A }[/math] непусто и [math]\displaystyle{ AS }[/math] (соответственно, [math]\displaystyle{ SA }[/math]) лежит в [math]\displaystyle{ A }[/math], то [math]\displaystyle{ A }[/math] называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если [math]\displaystyle{ A }[/math] является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:

[math]\displaystyle{ a^n=\overset{n}{\overbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}} }[/math].

Для степени элемента справедливо соотношение [math]\displaystyle{ a^{m+n}=a^m\cdot a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n,m\in\mathbb N }[/math].

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] определено правое [math]\displaystyle{ (a/b) }[/math] и левое [math]\displaystyle{ (b/a) }[/math] частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого [math]\displaystyle{ aa = a }[/math]).

Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение [math]\displaystyle{ f }[/math] из полугруппы [math]\displaystyle{ R }[/math] в полугруппу [math]\displaystyle{ S }[/math] называется гомоморфизмом, если [math]\displaystyle{ \forall a,b \in S\ f(ab) = f(a)f(b) }[/math]. Две полугруппы [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math] называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм [math]\displaystyle{ f \colon S \to T }[/math].

Отношения Грина

Основная статья: Отношения Грина

В 1951 году Джеймс Грин ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе [math]\displaystyle{ S }[/math] определяются следующими формулами:

[math]\displaystyle{ aRb\Leftrightarrow aS^1=bS^1 }[/math]

[math]\displaystyle{ aLb\Leftrightarrow S^1a=S^1b }[/math]

[math]\displaystyle{ aJb\Leftrightarrow S^1aS^1=S^1bS^1 }[/math]

[math]\displaystyle{ H=L\cap R }[/math]

[math]\displaystyle{ D=R\vee L }[/math]

Из определения непосредственно следует, что [math]\displaystyle{ R }[/math] — правая конгруэнция, а [math]\displaystyle{ L }[/math] — левая конгруэнция. Также известно, что [math]\displaystyle{ D=R\circ L=L\circ R }[/math]. Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] R-эквивалентны, [math]\displaystyle{ u }[/math], [math]\displaystyle{ v }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ au=b }[/math], [math]\displaystyle{ bv=a }[/math] и [math]\displaystyle{ p_u,p_v }[/math] — соответствующие правые сдвиги, то [math]\displaystyle{ p_u,p_v }[/math] — взаимно обратные биекции [math]\displaystyle{ L_a }[/math] на [math]\displaystyle{ L_b }[/math] и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

Литература

• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Ляпин Е. С. Полугруппы. — М.: Физматлит, 1960. — 592 с.